求解器、积分器与数值误差的边界

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本篇完成 B3/B4；先修为动力学执行链、软接触与锥、正定矩阵和梯度的概念。固定 MuJoCo 3.15.0 原生核心。这里只推导并追源码，没有运行收敛、稳定性、性能或可微实验；这些说明不能构成引擎排名。

1. 三层问题各自改变什么

层	原生选项/字段	改变的对象
接触与约束模型	condim, cone, solref/solimp, friction, impratio	力可行域、参考加速度、正则化与几何装配
约束数值算法	solver, iterations/tolerance, ls_*, noslip_*, warmstart	当前优化问题怎样近似求解及什么时候停
状态推进	integrator, timestep	加速度怎样推进状态；discrete 更把有效惯量放进约束求解

mj_defaultOption 的本版默认是 Euler、pyramidal、Newton、100 次上限、tolerance=1e-8，line search 上限 50、ls_tolerance=0.01、noslip_iterations=0、timestep=0.002 s。实际初始化 这些默认值不是 DexLab 的运行配置：报告中的 elliptic、1e-10 等需以各批 manifest 为准。100 次不能写成“每步实际执行 100 次”。

2. 从动力学消去加速度，得到 dual 问题

先限制在冻结当前 q/v、无 adhesion、无 IPC、无 NoSlip 后处理的连续加速度分支。令 a0=M⁻¹τs、J 为装配后的 Jacobian、ar=efc_aref、R 为正对角正则化，定义

\[ A=JM^{-1}J^T,\quad b=Ja_0-a_r. \]

则 dual 优化为

\[ \min_{f\in\Omega}\ \frac12f^T(A+R)f+b^Tf,\qquad a=a_0+M^{-1}J^Tf. \]

Ω 是各行/块可行域的直积：等式力无符号限制；frictionloss 力在上下界内；limit/无摩擦接触是非负；摩擦接触是 elliptic 锥或非负 pyramid 边权。冻结的 M 正定且 R 正时目标严格凸；这说明固定接触集合的软模型优化问题有唯一最优力，不等于整个接触切换轨迹光滑、稳定或物理参数正确。约束优化与算法、AR 构造

这不是硬刚体互补问题原封不动的求解：R 使力与约束加速度允许软偏差，有限阻抗下出现小量滑移并不自动说明 solver 未收敛。反过来，如果 f 的可行性已满足，动力学梯度仍可能没收敛。

b 是加速度型残差，(A+R)f+b 也是；f 包含 N/N·m 或变换后的边坐标。目标不是物理能量 J，也不能将任意约束分量不归一化地当成同单位误差相加。选定广义坐标与行标度后，源内的归一化才能解释 tolerance。

3. Primal：在加速度空间求解

定义软约束代价

\[ s(z)=\max_{f\in\Omega}\{-z^Tf-\tfrac12 f^TRf\},\qquad z=Ja-a_r, \]

得到 reduced primal

\[ \min_a\ \frac12(a-a_0)^TM(a-a_0)+s(Ja-a_r). \]

在相应光滑分区，梯度 g=M(a−a0)−Jᵀf(a)。等式行的 f=−z/R，frictionloss 在力限幅之外成为线性代价，单边行与 elliptic 锥按状态选分支。Newton 使用 Htotal=M+JᵀHcJ 形式的 Hessian，其中 Hc 表示约束代价的二阶块（elliptic 锥块可能耦合）。不是只用 JᵀJ，也不是每个接触都永远有相同二阶项。代价/力/状态更新、primal 核心

discrete 路径保留这一优化结构，但把 M 替成有效 metric，并将 τs 加上 stiffness/actuator shift。只有同时替换 metric、smooth acceleration、R 和 reference，方程才一致；不能仅在积分最后偷偷换一个质量矩阵。

4. 三个 solver 的实际工作

PGS：约束力空间中的块更新

PGS 本版实现预计算 AR 对角倒数。对标量行，在其他分量固定时先做无约束极小化，再投影到区间/非负轴。对 elliptic 接触，先沿 normal 或 cone ray 更新，再固定 normal，在至多 5 维摩擦椭球内解小型 QCQP；不是把每个切向简单独立 clamp。

3.15 还包含默认打开的 thread-local mj_nesterov_momentum=1、外推后的可行域投影与自适应 restart；每轮以内部固定种子的 PCG32 洗牌约束块访问顺序。它不是每次随机 wall-clock seed，也不是文献中最朴素的固定次序 PGS。该符号是 benchmark/test 用内部开关，不把它教成公开 MJCF 选项。外推与乱序

CG：非线性共轭方向，不是解一次线性 CG

CG 优化加速度代价，使用预条件梯度（基础 metric solve，特殊 metric 有自己的近似预条件算子），再进行一维 line search。预条件分支 主编译分支为 Hager–Zhang 更新，共轭性丢失时重启，带 beta 下界；mjCG_PRP 条件宏才切到 Polak–Ribière Plus。因此不能用旧教程的一句“MuJoCo CG=PR+”覆盖这个固定提交。方向更新

Newton：Hessian 与线搜索

Newton 用解析约束二阶块形成 Htotal，Cholesky 分解求方向 −Htotal⁻¹g，约束状态变化时增量更新分解；椭圆锥需要其耦合 Hessian。密集/稀疏路径及 discrete metric 的组装不同。Hessian 装配 Newton 每轮工作更多或迭代更少是算法结构上的可能性，不能据此宣称对所有场景更快。

CG/Newton 共用 PrimalSearch：沿搜索方向计算代价、导数和二阶导数，尝试一维 Newton，再括区间/中点更新，受 ls_iterations/ls_tolerance 限制。官方“exact line search”描述目标是求方向上的极小点，有限预算和数值停止并不保证精确达到它；源码可返回无改善、未成功括区间或预算耗尽后的候选。alpha==0 会使主循环退出。

5. 真正的终止条件与诊断

主循环归一化系数在单块为 scale=1/(meaninertia*max(1,nv))；primal 岛路径改用岛内惯量对角和的倒数。统计量与原始 cost/gradient 不是同一尺度。scale 与首轮判断

算法/阶段	退出依据（另有 maxiter 上限）
PGS 每轮	缩放的 cost improvement < tolerance
CG 首次	max(0, 0.5*scale*gᵀP⁻¹g) < tolerance 的预条件梯度证书；具体 P 由该路径决定
Newton 首次	上述证书且缩放梯度范数过阈值；否则建 Hessian，再检查梯度与 Newton decrement 的组合
CG/Newton 循环后	正的 improvement 小于 tolerance，或缩放梯度范数过阈值；Newton 还接受 decrement 过阈值
CG/Newton line search	alpha=0 可直接退出；内部另受 ls_* 控制
NoSlip	自己的 improvement 与 noslip_tolerance，自己迭代上限

普通 bare-M 情况，强凸性给出 cost(a)−cost* ≤ 0.5 gᵀM⁻¹g；源码注释指出仅小 cost gap 在很硬方向上仍可能留有较大力误差，所以 Newton 首次零轮判断加了 gradient gate。准确条件、主循环条件、PGS 条件

这也修正官方 warmstart 简述的省略：Newton 不是仅 gap 小就一定零轮返回。tolerance=0 关闭正阈值意义的提前收敛判断，但不保证强制执行满次数；零搜索步/数值停滞等控制流仍存在，PGS 的实际 comparison 也不是计数器锁定。

应联读 solver_niter[island]、solver[island,iteration] 的 improvement、gradient、lineslope、nactive、nchange、neval、nupdate 与模型选项；统计数组有固定存储上限，实际迭代计数可以超出保存条目。NoSlip 会把计数与统计追加到主 solver 后，不能把总数直接解释为 Newton 轮数。统计字段、NoSlip 追加

tolerance=1e-10 不表示“接触力误差 ≤1e-10 N”，也不保证穿透 ≤1e-10 m。目标缩放、力/加速度条件、接触模型、步长误差和模型误差必须分别解释。

6. Warmstart、岛、NoSlip

Warmstart 保存的是 qacc_warmstart。下一次先在新的 J/R/reference下把旧加速度映射成候选力与代价，再比较：PGS 的 force candidate 若比零力差就清零；primal 比较旧加速度的 Gauss+constraint cost 与 qacc_smooth 的 cost，选择较好加速度。关闭 warmstart 则以 qacc_smooth 与零 efc_force 开始。不是拿旧 contact index 对应的 efc_force 生搬硬套。完整 warmstart

有限迭代下 warmstart 会影响最后值，读数重现需保存它；若完全收敛，则差异由同一个最优问题约束。sleep 的隐藏派生状态与 IPC 跨步状态还需要更严格恢复，不能以一个 qpos/qvel 文件声称完全复现，详见 E1。

Island 把树与约束构成的耦合图拆成独立块；同一机器人树中的远端 DOF 仍可能通过惯量耦合，不是“每个 contact 一个线程”。discrete 的跨树 tendon metric 也会连接岛，flex metric 当前仍可使约束求解退回单块。每岛可独立停，PGS/CG/Newton 都有岛入口；dispatch 的潜力不构成并行性能测量。耦合建图、求解与 fallback

NoSlip 是主 solver 后的摩擦后处理，重解 frictionloss 和接触摩擦，使用去掉 R 的 dual 残差；elliptic 固定法向，pyramid 调整相反边权而保持其和。它不改回一个统一的原始优化问题，也不保证消除一切滑动；不能和 “提高主 solver 精度” 视为同一动作。后处理源码

7. 从连续加速度到数值积分

把所有已求力合成 F(q,v)，暂时冻结 q，定义正阻尼符号 D=−∂F/∂v。一阶线性化隐式速度更新为

\[ (M+hD)\Delta v=hF(q,v)=hMa,\quad v^+=v+\Delta v,\quad q^+=\operatorname{integrate}(q,hv^+). \]

这是 frozen-q、一次线性化、所选导数范围内的公式；不是求完整非线性 backward Euler 到收敛。配置更新必须使用流形积分，四元数不能逐项相加。源内 qDeriv=∂F/∂v，所以实现写 M−h*qDeriv，与上式符号一致。implicit 实现

integrator	3.15 实际处理	主要限制
Euler	先更新 v，再用新 v 更新 q；启用时把 DOF damping 导数加入对角 qH	3.15 实现还含 damping polynomial 与映射到 joint 的 actuator damping；不是所有力都隐式
implicit	用 smooth-force 速度导数，包含 RNE 偏置导数，稀疏 LU	不包括约束力导数；受 M 拓扑稀疏限制，跨分支 tendon damping 可能不能完整进入
implicitfast	去掉全局 RNE 速度导数并作对称处理，用对称分解	独立 free rigid subtree 的局部非对称陀螺项另算，不能说“一概删除所有陀螺项”
RK4	固定步长四 stage，阶段间重新 forward，四元数按配置增量积分	不是四个长度 h 的物理子步；接触切换/饱和下不承诺全局四阶，split-step 不能保留 RK4
discrete	把有效 metric 和隐式约束行放入 solver；最后直接 advance	qacc 是 (v⁺−v)/h，与 h 相关；支持组合见下节

五种积分器说明、Euler 对角项、free-body 局部条件。减小 h、增加 solver 迭代、增加应用控制频率分别作用在不同误差上；一个参数不能替代另一个。

8. discrete：metric、shift 与行权重必须一起变

在稳定符号的线性弹簧/阻尼局部近似下，让 D,K 为正半定贡献，

\[ \widehat M=M+hD+h^2K,\qquad \widehat M a_0=F(q,v)-hKv. \]

推导：F(q⁺,v⁺)≈F−Kh(v+ha)−Dha，代入 Ma=F(q⁺,v⁺) 即得上式。此式假定当前切空间线性化、冻结几何/系数与符合稳定符号的力项；实际肌肉/PD、tendon、fluid、flex 分支还按各自算子和 shift 组装，不能把任意用户回调导数自动包括进去。metric 构建、stiffness shift

一条参考弹簧阻尼行中，用本篇前文接触系数 Krow/Brow/I（与上面的广义矩阵 K/D 区分），隐式行因子为

\[ \gamma=1+hB_{row}+h^2K_{row}I,\quad R^+=R/\gamma,\quad a_r^+=\frac{-B_{row}v_c-K_{row}I(r+h v_c)}{\gamma}. \]

R 有阻抗上限对应的 floor，不能无限趋零；connect/weld 还有 Jdot·v 修正，adhesion 偏置在缩放后加入。对正格式、接触/limit 且 h²Krow I>1 的过硬行，refsafe 把 Krow 改为 1/(h²I) 并调整/限制 B；这与连续路径 timeconst≥2h 不同。R/refsafe 更新、reference 同步

线性隐式处理能缓解刚度造成的步长限制，但几何穿透、未解析的碰撞时刻、控制延迟、力饱和和条件数仍限制结果。不能把官方对单行稳定性的讨论扩大成“任意步长任意模型都正确”。加速度传感器得到的是该分支的有限差分量；是否等同真实传感器还需其滤波、带宽、噪声与采样协议，不能从公式直接推定。

组合	固定源码支持边界
discrete + PGS	tendon/actuator coupling metric 类被排除，相关力显式积分；不是与 primal 完全相同的有效 metric
discrete + primal + NoSlip	主求解使用完整 metric，后处理用已分解 backbone 的 AR 近似，漏掉 coupling
discrete + flex metric + PGS/NoSlip	运行时拒绝
discrete + flex + Newton	一般 attachment 或不可装配 interpolated 节点会拒绝，需 CG 路径
discrete + sleep	无 islands 或有 flex metric 时拒绝
implicit/implicitfast + flex elasticity	本版要求改用 discrete；Euler/RK4 的原有显式处理不等于稳定性保证
IPC	要求 discrete+CG，拒绝 fwdinv、sleep；涉及 2D flex 时常规 constraint stage 可跳过，最终步在 IPC 积分器里产生

运行时 option 校验、PGS coupling 排除、IPC stage 分支。这里明确支持边界，不声称完成 E6 的 IPC 内循环、完整 flex 弹性与各 GPU 后端课程。discrete 的独立 free-body 陀螺修正还要求其 DOF 无约束/metric 耦合，不能只凭 freejoint 就假定启用。解耦检查

9. 可微与误差预算

原生 mjd_transitionFD 是有限差分的离散转移 Jacobian，状态扰动维度 2*nv+na，不是 2*nq+na；不等于核心已经提供所有接触的端到端解析自动微分。该函数明确拒绝 RK4、history delays 和 sleep；会恢复所需 state/ctrl/warmstart，并考虑 control clamp。函数边界、状态恢复

即使导数函数可调用，接触集合变化、锥状态切换、饱和和几何非光滑仍可使导数不连续。差分步长太小放大浮点/迭代误差，太大跨过活动集边界；warmstart/solver 停止的变化也会污染差分。教程不把 FD 接口存在视为任意控制任务的梯度正确性证明。IPC 还含不在该状态向量内的跨步量，不能把这套 compact FD 契约外推为完整 IPC 状态的 Jacobian。

10. 阅读练习与答案

题 1： Newton + pyramidal 是不合法组合吗？

答： 合法。cone 定义可行域，solver 定义算法，两个 option 独立；本版默认就是这个组合。

题 2： solver_niter=0 能证明没接触或没求解吗？

答： 不能。无约束会是零；CG/Newton 的 warmstart 证书也可零轮退出。查 nefc、efc_force、warmstart、tolerance 和返回路径。

题 3： 两次设置 tolerance 相同，为什么不能说绝对力误差相同？

答： 检查量可能是 cost improvement、梯度、decrement，且按惯量/岛缩放；模型刚度、坐标与条件数改变 cost 到力误差的关系。

题 4： solref=(-k,-b) 很硬，换 discrete 后是否仍把 t 下限设成 2h？

答： 非正直接格式没有正 timeconst 下限；discrete 对正格式过硬接触/limit 用另一套 K/B 调整和 R floor。不能套连续分支的统一夹法。

题 5： qacc 在 discrete 下变了，是不是只是积分器最后改了 qvel？

答： 不是。有效 metric、smooth solve、约束 reference/R 都已改变，qacc 本身就是步的速度差除以 h；同状态不同 h 可产生不同 qacc。

题 6： NoSlip 打开后 solver_niter 超过 iterations，是否越界？

答： 统计把主解与后处理追加累计；两者各有上限。还需区分固定统计存储容量与实际总迭代数。

题 7： 为什么缩小 h 不能修复漏掉的碰撞 pair？

答： 过滤/几何表示决定是否装配力；时间离散化再细也不能补回被过滤掉的约束。

题 8： 为什么 FD 状态用 nv 扰动 qpos？

答： 配置在流形上，单位四元数只有三个局部旋转自由度；差分需切空间扰动与配置积分，不能四个四元数分量独立扰动后当同一物理系统。

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