Flex与弹性：从顶点归属到广义力与有效惯量#

Course text is primarily Chinese, with English terminology and summaries. The original content is preserved.

本课覆盖B6的原生可变形机制。先读模型与坐标、动力学执行链和求解/积分。固定3.15.0源码，所有模型仅文本审查，没有编译、求解或形变实验。

1. skin、flex、flexcomp、cable分别是什么#

名称	原生含义	不能替代
skin	根据骨骼body更新视觉顶点/法线	不产生碰撞或弹性力
flex	由顶点归属、元素连接和材料参数描述的物理几何	不是一组只有视觉mesh的body
flexcomp	生成body/joint/flex等低层结构的建模宏	不是运行时另一种solver
cable plugin	在刚体链上施加弯曲/扭转被动力	不等于flex有限元

flex的元素可为1D线段、2D三角形、3D四面体，并带碰撞半径。顶点可以属于不同body，也可以全部属于同一个body形成刚性flex。元素本身不是独立新增广义坐标；它的运动由附着body或插值node决定。建模说明、skin边界。

flexcomp编译为具体body质量/惯量和连接。默认full构造会给自由点生成平移自由度；pin点依附父body，不能把“pin”普遍解释成世界坐标恒定。若父body会动，点随它运动并将反力映射回去。生成路径。

2. 坐标与力的映射保留在原生数据里#

非插值顶点的世界位置来自所属body：

\[ x_i=p_{b(i)}+R_{b(i)}r_i,\qquad v_i=J_i(q)v,\qquad \tau_{\rm flex}=\sum_i J_i(q)^\mathsf{T}f_i. \]

这里rᵢ是body局部顶点坐标，xᵢ单位m，Jᵢ把广义速度映射到m/s；广义力分量因滑动/转动坐标而具有N或N·m单位。把一个点pin到旋转body不仅传递力，也可产生力矩；直接把顶点力写进同编号qfrc列会丢失这一映射。

字段	所在对象	阅读意义
`flex_dim`, `flex_vertnum`, `flex_elemnum`	model	元素维数、顶点/元素数
`flex_vertadr`, `flex_elemdataadr`	model	拼接数组的起始地址，不是byte offset
`flex_vertbodyid`, `flex_vert`	model	顶点归属和局部坐标
`flexvert_xpos`, `flexedge_length/velocity`	data	当前派生世界位置、边长/变化率
`flexedge_J`, `flexvert_J`	data	相应边/顶点约束的稀疏运动映射
`flex_stiffnessadr`, `flex_stiffness`, `flex_bending`	model	编译后的材料/弯曲数据，不能当简单每点弹簧数组

mj_flex计算世界位置、插值位置、边长及相关Jacobian；不是向每个顶点独立加上qpos。位置/插值、Jacobian装配。非插值弹性力通过gather/scatter处理一般body附着，保持虚功关系；有效metric中的映射也沿同样关系处理。弹性力与scatter、metric映射。

3. 三种保形机制不能混称同一种刚度#

边弹簧/阻尼使用边长度L和参考长度L₀，力沿边方向，标量为：

\[ f_e=k_e(L_{e0}-L_e)-c_e\dot L_e. \]

k单位N/m，c单位N·s/m，然后由边Jacobian转为广义力。当前编译器仅允许1D的edge stiffness；不能用二维布料的每条边独立弹簧替代其完整连续体材料语义。运行力、编译限制。

边/应变等式约束用constraint rows限制形变，依赖solref/solimp和solver，不是“young趋于无穷大”的同一算法。flexcomp/edge equality有false/true/vert/strain，插值布局有自己的兼容约束。当前编译器拒绝边等式与拉伸young同时存在；纯bending例外可与边约束组合。还拒绝等式与edge stiffness同时存在。旧XML说明中“任意叠加”或必须用旧Solid/Membrane插件的措辞不能覆盖这些检查。等式兼容性、XML equality类型。

连续体弹性从形变梯度和材料能量得到力。young单位Pa=N/m²，poisson无量纲；当前实现范围要求0≤ν<0.5。大位移/有限转动不等于允许任意大应变、倒置或任意材料本构。

以StVK材料为例，设参考到当前的梯度F无量纲，Green应变Eₛ和能量密度W为：

\[ E_s=\tfrac12(F^\mathsf{T}F-I),\qquad W=\mu\operatorname{tr}(E_s^2)+\tfrac{\lambda}{2}\operatorname{tr}(E_s)^2, \]

\[ \mu=\frac{Y}{2(1+\nu)},\qquad \lambda=\frac{Y\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}. \]

Y、λ、μ单位Pa，乘参考体积得到J。ν接近0.5会使λ变大，改变数值条件；不能通过更大的Young常数直接宣称“更接近真实”。编译器将材料整理为边长度平方差上的局部系数，运行时逐元素计算张力和力，再scatter。材料编译、运行分支。

4. 2D壳：碰撞半径与材料厚度是两个量#

elastic2d的none/bend/stretch/both决定哪些被动力生效。thickness控制材料能量缩放，radius控制几何接触厚度。两者可以为同一物理厚度建模，但不是引擎自动绑定的字段。拉伸刚度随厚度一阶缩放，板弯曲刚度含三次厚度：

\[ D_{\rm bend}=\frac{Yt^3}{12(1-\nu^2)}. \]

这个关系假设对应各向同性薄板模型，单位为N·m。把t加倍，弯曲项并非只加倍；模型拟合不能把碰撞radius当作唯一厚度旋钮。弯曲系数、参数语义。

Rayleigh damping参数单位秒，用于把刚度映射到阻尼；它不是edge damping的N·s/m系数。StVK路径按一步边长度变化构造广义阻尼；SNH路径用PSD切线保证该阻尼的瞬时功非正。因此同名“damping”跨不同层不能直接比较数值。阻尼实现。

5. 3D SNH是本版mjSpec能力，不是已公开的XML同名属性#

mjsFlex.elastic3d明确标注“experimental、mjSpec only”：0为StVK，1为Stable Neo-Hookean。当前XML schema/read table没有同名属性；不要向<elasticity>里臆造elastic3d="1"并宣称受支持。公开spec字段、XML读取表。

编译检查要求SNH为非插值3D flex，使用discrete积分器。其24系数tetra块保留StVK边基底，再加入三次项和有符号体积项；运行通过额外系数选择SNH，而不是仅换一组Young/Poisson数值。检查、SNH编译系数、运行体积/张力项。

求解metric使用PSD投影的材料Hessian；这里的稳定化切线与“原始能量Hessian处处正定”不是同一个声明。材料支持也不证明所有初始倒置、刚体附着或步长都得到物理可信结果，当前没有相应实验。

6. 插值减少自由度，也改变模型与兼容性#

trilinear和quadratic让物理节点插值出几何顶点；节点数、碰撞顶点数和广义自由度数因此不同。相同表面网格不保证与full布局有相同可表达形变。flex_interp当前用正值表示体积插值、负值表示壳插值，绝对值表达order；不是单纯bool。

固定源码已经存在插值壳的弯曲系数编译及mj_flexPassiveBendInterp运行分支，因此旧XML页“trilinear/quadratic不支持bending”不能作为本树的完整结论。需要满足壳模式、bending数据、正厚度/Young等具体条件。插值壳编译、运行条件。另一方面，当前编译器拒绝插值flex的self-collision；不会因为渲染连续就自动获得同样自碰撞能力。检查。

7. 从被动力到求解metric，而非换个积分器名称#

discrete路径把弹性/阻尼切线放入E3的有效metric。概念上局部正定近似可写成：

\[ \widehat M\approx M+hC+h^2K. \]

这里是说明各项量纲与耦合的局部形式，实际还有投影、映射和不同算子类别；不是要求显式构造一个统一稠密矩阵。对一般附着flex，CG可通过gather→局部Hessian乘→scatter应用算子；Newton需要可装配结构。原生检查因此拒绝部分Newton布局，而不是所有solver互换。metric实现、运行组合检查。

本版的重要限制：SNH与passive flex contact需要discrete；有弹性metric项的flex不再通过implicit/implicitfast旧路径隐式积分，代码要求改用discrete。Euler/RK4的显式弹性路径仍有对应条件，但不能当成隐式稳定性保证。discrete+flex metric不支持PGS/NoSlip或sleep；一般附着优先检查CG，mocap附着没有弹性阻尼所需的真实广义速度。同一检查、附着约束说明。

8. 碰撞接触还有独立选择#

默认flex接触沿原生constraint rows，与材料被动力分开。接触点可能涉及多个顶点，其力通过几何权重和body Jacobian映射，不能像刚体geom只认两个body。selfcollide控制候选剪枝；3D activelayers控制参与碰撞的tetra层数，均不直接改变Young模量。flex几何碰撞、属性。

contact passive=true把适用的flex–flex/静态几何接触改为只有法向的被动penalty，刚度来自质量与固定自然频率，metric隐式处理其曲率；移动body接触保留constraint路径。它不提供CCD的防穿越保证。IPC则另有AL+CCD外循环，见下一课；不要将两者称为相同的“软接触选项”。passive契约。

原创flex片段只读编译布局的预期接口，没有编译或推进。它帮助核对pin、地址和材料参数，不提供弯曲刚度、稳定性或碰撞证据。

9. 带答案阅读练习#

给skin设很细的mesh会增加物理柔性吗？ 不会；skin仅视觉，flex/body/joint和材料决定物理。
pin点一定固定在世界中吗？ 不一定；它依附指定body，body运动时点随动并可传反力/力矩。
thickness翻倍、radius不变会怎样？ 材料拉伸/弯曲缩放改变，碰撞几何厚度不自动改变；薄板弯曲系数含t³。
边等式+stretch Young是否任意可叠加？ 本版编译器拒绝冲突，纯bending与边等式可有不同规则；不能照旧说明推断。
SNH是否写一个XML属性就能用？ 本版elastic3d是mjSpec-only，且要求非插值3D和discrete。
减少插值节点只影响速度吗？ 还改变可表示形变、Jacobian和兼容性；不等价于原full模型。
所有implicit积分器都隐式处理本版flex弹性吗？ 不；源码要求相应metric路径使用discrete，需读具体组合检查。
passive接触没有摩擦，调大friction能留住斜面上的布吗？ 对该法向路径无效；需选择有摩擦的接触路径，不能用参数名推断其生效。

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