E1 · 模型、坐标、状态与时间#

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Course text is primarily Chinese, with English terminology and summaries. The original content is preserved.

先修：对象导读。应用路线读第 1–5、7–9 节；原理路线连同第 6、10 节一起读。本章完成 A1、A2，并交付 B0 的配置/空间量/惯量基础与 B4 的时间/积分基础。约束方程、完整求解过程和数值误差分析留在 E3，不把本章当作完整动力学课程。

阅读基线为 Newton 1.6.1、固定提交 713fecdc41caf0c9d726f5c016939f36e66e3dff。Newton Python API、Warp 数组/内核运行时、具体 Solver 后端是三个层次；候选 Warp 1.18.0 不是本章实测环境。SolverMuJoCo 还涉及 MuJoCo/MuJoCo Warp 的单独身份。本章仅核对官方源码、文件身份和片段语法，没有执行引擎、导入资产、仿真实验或性能测试。 本文的数字算例是公式推导，不是测量结果。

1. 先决定谁描述结构、谁保存状态#

Newton 将可编辑模型组装与设备数组分开。ModelBuilder 的 add_link、add_joint_*、add_shape_* 把结构写入构建器；finalize(device=...) 验证结构、组织索引并将模型数据转到指定 Warp 设备。修改构建器不会自动修改已生成 Model。固定拓扑的参数更新也需按相应 Solver 的通知协议处理，不能将 Model 理解为任意写入后自动传播的 Python 配置。

对象

本章关注的内容

创建/消费位置

所有权与边界

ModelBuilder

body、shape、joint、articulation 与初始值

组装后 finalize

构建阶段的 Python 数据；添加拓扑后重新 finalize

Model

质量、惯量、形状、索引及初始 joint_q/body_q

Solver 构造、state()、control()

设备数组；初始值与当前 State 是不同数组

State

粒子/刚体/关节位置、速度与力缓冲

model.state()；传入/传出 solver.step

新 state 克隆模型初值；没有通用仿真时钟字段

Control

目标、广义力等时变输入

model.control()

默认克隆；clone_variables=False 时引用 Model 的控制数组

CollisionPipeline / Contacts

碰撞生成和接触缓存

pipeline.contacts()、pipeline.collide(state, contacts)

接触几何是对某次状态采样的结果，不等于步后状态

Solver

推进、约束处理及后端内部数据

step(state_in, state_out, control, contacts, dt)

支持能力、权威状态表示和历史缓冲随 Solver 改变

依据：finalize、state/control 分配、官方双摆调用链。Model 的 set_gravity 要求随后通知 Solver，见参数更新入口。

body、shape、joint 与 articulation#

add_body() 是便利入口：它创建一个 link、一条连接 world 的 FREE joint，以及单体 articulation。多体机构用 add_link 加各条 joint，再用 add_articulation 组织。body ID、shape ID、joint ID、坐标数组起始位置不是同一个编号空间。 add_body(label="block") 的返回值是 body ID，不是 joint_q 的下标。实现

shape 的 xform 相对于所属 body；body 的 xform 是世界位姿。body=-1 的 shape 属于静态世界几何。add_shape_box 的 hx/hy/hz 是半边长，不是全尺寸。一个 body 可以有多个 shape；形状的视觉开关、碰撞开关和质量贡献需分别检查。shape 契约、box 半边长

静态世界 shape、由 FIXED joint 约束的 body、is_kinematic=True 的 body 是不同建模方式。KINEMATIC 是用户指定运动、不受外力推进的刚体；公共积分 kernel 会把输入位姿/速度原样复制到输出，仅赋一个非零速度不会自动生成 kinematic 轨迹。本版本存储的 body flag 是 DYNAMIC 或 KINEMATIC，不能凭其他引擎经验猜一个 STATIC flag。is_static=True 是 shape 的零质量贡献选项，也不等于冻结它所属的动态 body。flags、kinematic 分支

2. 坐标与姿态：先写定义，再代数计算#

本文定义 \(T_{WB}=(R_{WB},p_{WB})\) 为将 body 坐标变到 world 的刚体变换：

\[ x^W=R_{WB}x^B+p_{WB},\qquad T_{WC}=T_{WB}T_{BC}. \]

旋转矩阵满足 \(R^TR=I\)、\(\det R=1\)；向量只乘 \(R\)，点还要加 \(p\)。因此局部 shape 位姿要和 body 位姿组合，不能直接当作世界坐标。关节的 parent_xform、child_xform 分别在父/子 body 局部系中定义关节锚点；可运动变换夹在两者之间：\(T_{WC}=T_{WP}T_{PJ_p}T_{J_pJ_c}(q)T_{CJ_c}^{-1}\)。源码对应 X_wpj * X_j * inverse(X_cj)。关节递推

Newton 默认右手系、Z-up，ModelBuilder(up_axis=...) 可指定其他 up 轴。显式 gravity=(gx,gy,gz) 不受 up 轴约束；省略时才默认沿 up 的反向取 9.81 m/s²。换 up 轴时，要一起检查重力、地面、资产方向和相机，不只是改绘图。轴系与重力、构造参数

量

Newton API 表示

单位/约定

位置、COM、形状长度

vec3、transform 平移

m；必须标注 frame

旋转

wp.quat(x,y,z,w)

单位四元数，标量在最后；\(q\) 与 \(-q\) 表示同一旋转

revolute 坐标/速度

joint_q / joint_qd 的标量片段

rad / rad·s⁻¹

prismatic 坐标/速度

同上

m / m·s⁻¹

质量、密度、惯量

body_mass、shape density、body_inertia

kg、kg·m⁻³、kg·m²

外力/力矩、时间步

body_f、dt

N / N·m；s

四元数为 \(q=(\hat a\sin(\theta/2),\cos(\theta/2))\)，其中 \(\hat a\) 是单位轴，\(\theta\) 用弧度。不能将 [roll,pitch,yaw] 塞进 quaternion 的前三项。MJCF 文件四元数采用 wxyz，Newton 导入器会显式重排为 xyzw；原生 wp.quat 调用则由使用者保证顺序。MJCF Euler 的角度单位还取决于 compiler，文件角度约定不是 State 的关节角单位。四元数约定、MJCF 姿态解析、compiler angle

3. 质量和惯量如何进入 Model#

body_com 是 body 局部系中的质心位置 \(c^B\)；body_q 的平移是 body 原点的世界位置。世界质心为 \(c^W=p_{WB}+R_{WB}c^B\)。body_inertia 是绕 COM、在 body 局部方向表达的 \(3\times3\) 惯量；公共积分函数将世界角速度/力矩旋回局部系后使用该矩阵。字段、积分中的惯量坐标

对质量 \(m\)、COM 惯量 \(I_C\) 的刚体，换表达方向 \(R\)、再从 COM 换到偏移为 \(d\) 的平行轴：

\[ I_O=RI_CR^T+m\big((d^Td)I_3-dd^T\big). \]

这是质量分布的几何关系；不是随意把每个对角元乘相同系数。组合多个 shape 时先用 \(c=\sum_i m_i c_i/\sum_i m_i\) 得到新 COM，再将每个形状的旋转惯量平移到该点相加。Builder 的 _update_body_mass 正是这条路径。惯量变换、累加质量与 COM

默认 shape density 为 1000 kg/m³。shape 只有在非 static、密度大于零、附着于 body 且该 body 未锁惯量时才计算并累加质量。若你已经显式给定 body 的 mass/com/inertia，再添加有密度的 shape，会额外增加质量；lock_inertia=True 可禁止后续 shape 修改这三项，但它不阻止 fixed-joint 合并时的质量汇总。默认密度、累加条件、lock 语义

手算检查。 均匀实心 box 的全尺寸为 \((2h_x,2h_y,2h_z)\)：

\[ m=8\rho h_xh_yh_z,\quad I_{xx}=\frac{m}{3}(h_y^2+h_z^2), \]

其余对角项循环置换，COM 在 shape 中心。取半边长 \((0.10,0.05,0.025)\) m、密度 1000 kg/m³，则质量为 1 kg；COM 三个主惯量分别约为 \((0.00104167,0.00354167,0.00416667)\) kg·m²。若将 shape 放在 body 局部 (0.10,0,0)，COM 会随之偏移，但仅由该 shape 构成的 body 绕其 COM 惯量不因此增加平行轴项。算法参见box 质量/惯量。

物理上非退化三维刚体的惯量应对称正定，主惯量还满足三角不等式。不要用负惯量或乱填很小的数来“调稳定”。Builder 的 balance_inertia、bound_mass、bound_inertia 以及 finalize 的校正可能改变输入数据，因此应将导入前数据与最终 Model 字段分开记录；校正通过不等于测得了真实物体参数。校正设置、finalize 说明

4. 导入资产不是照搬文件名#

原生入口是 builder.add_urdf、add_mjcf、add_usd。导入器把各自文件语义变成 Newton 的 bodies/shapes/joints；之后仍要检查所选 Solver 是否支持生成的字段。文件解析成功不能证明驱动、接触或闭环行为等价于原宿主。

入口

此版本要核对的选项/行为

读入后需要保留的记录

URDF

scale、up_axis、ignore_inertial_definitions、parse_visuals_as_colliders、fixed-joint collapse

源单位、根连接方式、最终 body/joint 标签与索引；不要把 visual mesh 默认当 collider

MJCF

compiler angle、inertiafromgeom、ignore_inertial_definitions、scale；四元数重排

compiler 与显式 inertial 的优先关系、最终惯量、solver 不支持的属性

USD

apply_up_axis_from_stage；stage 单位；碰撞/视觉导入分支

stage 元数据、物理 schema、路径到实体映射及所有导入警告

缩放必须和质量假设一起说#

几何相似、均匀缩放因子 \(s>0\)，若保持密度，理论上长度乘 \(s\)、质量乘 \(s^3\)、COM 惯量乘 \(s^5\)；若保持质量，惯量乘 \(s^2\)。这是两种不同假设。

v1.6.1 的 URDF 显式 <inertial> 路径将 COM 长度乘 scale、惯量乘 scale**2，显式 mass 原样读取；MJCF 显式 inertial 路径也是如此。不能以为对已有显式质量的机器人设置 scale=2 会自动令质量变为 8 倍。几何/密度推导走另一条路径。URDF 处理、MJCF 处理

USD 的版本限制必须保留#

该版本对 legacy 刚体/collider 导入仍要求 metersPerUnit=1.0、kilogramsPerUnit=1.0；非单位元数据会触发警告。粒子分支存在 SI 转换，但与 legacy 刚体混合时采用不同路径。不能把“读取了 metadata”写成“所有 USD 自动换算正确”。对本章的刚体资产，应事先把几何与物理量统一到米/千克，并令元数据一致；仅改 metadata 而不转换内容同样错误。实际分支与警告

资产维护记录至少包括原始 URL/提交、作者与许可、尺寸/单位、视觉和碰撞网格是否相同、质量来源、导入选项、坐标变换以及哪些属性被忽略。引擎的 Apache-2.0 许可不会自动覆盖外部机器人/网格；本仓示例只使用原创 primitive，不分发第三方资产。

5. 配置维度不等于速度维度#

设配置是 \(q\in\mathcal Q\)，广义速度是 \(v\in\mathbb R^{n_v}\)。四元数用 4 个数表示 3 个旋转自由度，因此一般有 \(\dot q=N(q)v\)，而不是对所有关节都成立的 q += dt * qd。

joint type

配置坐标数

速度自由度数

解释

PRISMATIC / REVOLUTE

1

1

一条平移/转动轴

BALL

4

3

quaternion 与角速度

FREE / DISTANCE

7

6

平移 + quaternion；DISTANCE 仍有额外约束语义，数组长度不表示无约束

FIXED

0

0

相对位姿固定；body 仍可随父体运动

D6

所配置轴数

所配置轴数

不必恰好 6；查构建后 layout

依据：JointType 与 dof_count。ROD 的材料槽和 VBD 路径在 E6 讨论，不混入普通六维自由关节表。

每条关节分别使用 model.joint_q_start[j:j+2]、joint_qd_start[j:j+2] 定位；两个数组都有末尾 sentinel。joint_coord_count 与 joint_dof_count 才是全数组分配尺寸。不能用 joint ID 当 q 下标，不能拿 q 的切片切 qd，也不要在导入/合并/多 world 后假定旧索引仍有效。起始表定义

State 同时能容纳 body_q/body_qd 和 joint_q/joint_qd，但存在数组不代表它是当前更新的权威状态：

  • XPBD 使用 maximal coordinates，即逐 body 位姿/速度加关节约束。step 推进 body 字段；要获取对应的 generalized joint 数值，显式用 newton.eval_ik(model, state, state.joint_q, state.joint_qd) 做状态重建。

  • eval_fk(model, joint_q, joint_qd, state) 从关节输入更新 body 字段；它不是自动复制传入 q/qd 到 State 的万能同步器，也不是动力学步进。

  • SolverMuJoCo/Featherstone 使用 generalized coordinates，不能把只改 body pose 当作有效机器人 reset。SolverMuJoCo 的同步周期和后端状态还需单独核查。

依据：坐标表示分类、FK 输出契约、IK 输入/输出契约、MuJoCo reset 同步说明。这里的 eval_ik 是从已有 body 状态重建关节数值，不是给末端目标求机器人的规划器；目标 IK 留给 E2。

6. 读懂六维速度与力：顺序、frame、参考点#

字段

前三项 / 后三项

表达方向与参考点

State.body_qd[b]

\(v_C\) / \(\omega\)

都在 world 表达；线速度参考点是该 body COM

State.body_f[b]

\(f\) / \(\tau_C\)

world 力与绕 COM 的力矩；外部输入缓冲，不是总接触反力

FREE/DISTANCE 的 State.joint_qd

相对线速度 / 相对角速度

child COM 参考的关节速度，表达在 joint parent frame；父体运动由递推另行加入

FREE/DISTANCE 的 Control.joint_f

力 / 力矩

本版本 API 指定 world 表达、child COM 参考；不能因数组与 qd 等长就假定可直接点乘算功率

依据：State 字段、关节递推实际换系、Control 的特殊约定。Warp 的底层空间向量 helper 通常 angular-first；Newton 公共数组是 linear-first。应使用 Newton 对应转换 helper 的约定，或明确重排后再调用 Warp，不能直接把 body_qd 当作 Warp 的任意 twist 输入。布局适配实现

同一刚体上的换点。 所有量先表达在同一 world 方向，令 \(r=p_{new}-p_{old}\)，则：

\[ v_{new}=v_{old}+\omega\times r,\qquad \tau_{new}=\tau_{old}-r\times f. \]

力矩负号来自同一力作用点 \(P\)：\(\tau_O=(P-O)\times f\)，把参考点从 old 换到 new，力臂就减去 \(r\)。因此从 COM 速度取 body 原点速度，令 \(r=-R_{WB}c^B\)；得到 \(v_B=v_C-\omega\times R_{WB}c^B\)。从作用点 P 的力写入 COM wrench 时，则 \(\tau_C=\tau_P+(P-C)\times f\)。

源码纠错记录。 固定版本 conventions primer 对 r=new-old 打印了力矩加号，和上述参考点定义不一致；同文 body/spatial mapping 的一条 twist 公式与前文定义也有符号冲突。本章不照抄这两条，而用明确的点定义推导，并对照 XPBD joint force kernel 的 r_c=joint_point-COM 及实际 r_c cross f 累加。transform_wrench 的 +p cross f 使用的是 source frame 原点在 destination frame 中的位置，是另一种变换定义，不与上面的换点负号矛盾。

手算：COM 在原点，力 \(f=(0,10,0)\) N 作用于 \(P=(0.2,0,0)\) m，则绕 COM 的力矩为 \((0,0,2)\) N·m；把参考点移到 P 后力矩应为零。这比背诵一条未说明 r 方向的公式更可靠。

7. 时间步、子步和 Solver 迭代分清#

调用者维护时间，dt 的单位为秒。若一帧物理时长为 \(H\)，分为 \(N\) 个子步，则每次 step 传 \(h=H/N\)，一帧累计推进 \(H\)。渲染 FPS、控制更新周期、接触重算周期可以不同，必须分别记录。Solver 的 iterations 是一次 step 内部的约束迭代次数，不会让物理时间推进 iterations 倍。

例如设渲染/控制帧 \(H=1/60\) s、\(N=4\)，则 \(h=1/240\) s；若控制命令整帧保持，是 60 Hz 零阶保持输入。将控制器放到每个子步会改变为 240 Hz 更新的离散系统，不能只称作“同一控制”。这些是教学参数，不复用为 DexLab 的实测配置。官方 frame/substep 定义、时间累计位置

原生 XPBD 示例的顺序为：

state_in(t) → clear_forces → 写入本子步外力/控制
            → collide(state_in, contacts)
            → solver.step(..., h) → state_out(t+h)
            → 交换 Python 引用 → 更新调用者的时间

注意 clear_forces() 只清 State 的 particle/body 外力缓冲，不清 Control 的目标/关节力，不清 solver 历史，不重置位置。持续外力应在每次清理之后重新写入；写完马上 clear 会把输入擦掉。实现

采样必须标注阶段。 步前 collide 得到的接触位置/法线属于输入位姿；步后 body pose 属于 \(t+h\)。把二者拼成一条观测而不标阶段会误判接触位置。需要步后几何时再次 collide；需要该次求解的接触冲量/力则走 solver 的观测接口，不能用重新生成的几何替代。本章只确定数据时序，接触 force/impulse 语义在 E3 完整展开。XPBD step 输入契约

双缓冲与引用不是数据复制#

state_0, state_1 = state_1, state_0 交换的是 Python 名称。保存 old_pose = state_0.body_q 只得到同一设备数组的另一个引用；后续这个 buffer 被写入时，所谓历史也会变化。保存 pose 应 wp.clone(state_0.body_q)；保存全部已分配 State 数组可 snapshot=model.state(); snapshot.assign(state_0)，前提是两者布局/扩展属性匹配。State.assign 会检查缺失数组，不拷贝 solver 或任意 Python 的控制器变量。assign

CUDA graph 还捕获具体设备数组的使用关系；奇数子步的 Python 引用交换不能直接推广成 graph replay 的正确循环。该版本 State.assign 示例专门处理最后一步的复制。最小例子使用普通循环、不做 capture，graph 专题在 E5。

8. 重置和快照：选择你要恢复的层次#

需求

要保存/恢复什么

能作出的承诺

只回放几何

body/particle pose 与时间标签

能显示历史形状，不能从中恢复完整动力学

恢复公开 State

相同布局的全部 State 数组，必要时 FK/IK 同步

公开物理状态恢复；不自动含控制器/RNG/后端历史

回到模型初始条件

新 model.state()、初始 Control、调用者时钟、派生几何、所选 solver reset 逻辑

是重新初始化；不等于任意时刻快照继续

完全相同的续算

上述状态 + 后端缓存/激活/历史 + 控制器/RNG/步数/调度/运行配置

必须依 Solver 的序列化契约与未来验证证明；本章未作此承诺

SolverBase.reset(state, ...) 默认只做 mask 规范处理、没有通用物理复位实现。SolverMuJoCo override 会把所选 joint state 设回 Model 默认并清理 warm-start、act、ctrl、外力等后端数组；因此“先恢复任意中途快照，再无条件调用 reset”可能把你恢复的关节状态覆盖掉。不要跨 Solver 发明统一 reset 语义。base reset、MuJoCo reset

body_q_prev 已弃用，源码要求应用显式 clone 所需历史。Solver 内部自行管理前一姿态，公开 State 不能因此被当成所有内部历史的容器。弃用说明

本章的 最小例子 选择简单可审查的语义：构造一个偏心 primitive 自由体，保存 t=0 的 State，展示一帧普通双缓冲循环，随后恢复两个 buffer、重建 Control/Contacts 和 XPBD Solver 并归零时钟。它展示冷启动式复位，不展示中途快照的逐位一致续算；文件仅做语法检查，所有原生调用均未执行。

9. 原生例子与故障定位#

例子只有一个自由体与地面，没有外部资产、窗口、训练或评分器。主形状半边长、密度与第 3 节手算一致，局部 shape 偏移让 body_com 与 body 原点不同。预期 q/qd 尺寸 7/6 来自 FREE joint 构造规则，不是一次运行输出。

表面症状

首先读哪些量

典型错误与修改方向

模型尺寸差 1000 倍

文件单位、scale、shape 半边长

把 mm 当 m；避免同时修改文件和 importer scale 两次换算

静止模型 COM 不在几何中心

body_com、shape xform、显式 inertial

COM 本来就相对 body 原点；先检查质量分布，不强行归零

新加碰撞壳后质量增加

density、lock_inertia、导入惯量路径

手工质量与 shape 质量被叠加

设置 q 后渲染没变化

权威 q/body 字段、FK 调用及读取的 buffer

改了 generalized q，但 maximal pose 未同步；或读取旧 buffer

q 和 qd 切片长度不同

joint type、两套 start 表

quaternion 冗余坐标；用同一下标切两套数组

“保存的上一帧”跟着变化

Python 引用、设备数组、clone

别名不是快照

kinematic body 有速度却不移动

body flag、用户轨迹更新位置

用户指定运动分支只传递状态，需自己更新位姿和一致速度

换 solver 后 reset 无效

solver reset 实现、权威状态和缓存

base reset 不是通用复位；不要只清 body pose

只加 iterations 后模拟变快

调用者时钟与 dt 累加位置

迭代次数被错误算作物理子步

力矩方向相反

r 的方向、参考点、frame、linear/angular 顺序

区分换参考点与换坐标的 transform

10. 从积分源码理解 B4 的起点#

先限定 无约束刚体预测阶段。公共 integrate_rigid_body 把速度视为 world COM 线速度与 world 角速度；对质量非零的动态体，先更新速度再更新 COM：

\[ v_{n+1}=v_n+h(m^{-1}f_n+g),\qquad c_{n+1}=c_n+h v_{n+1}. \]

这是半隐式 Euler 的速度后位置顺序。转动在 body 系计算陀螺项：

\[ \omega_B=R^T\omega_W,\quad \widetilde\omega_W=R\left[\omega_B+hI_B^{-1}(R^T\tau_W-\omega_B\times I_B\omega_B)\right]. \]

随后用世界角速度左乘 quaternion 增量并归一化：

\[ q_{n+1}=\operatorname{normalize}\left(q_n+\tfrac h2(\widetilde\omega_W,0)\otimes q_n\right),\quad p_{B,n+1}=c_{n+1}-R(q_{n+1})c^B. \]

源码在计算新 quaternion 之后 对输出角速度乘 1-angular_damping*h；所以上式中的 \(\widetilde\omega\) 是阻尼前中间量。示例显式设 angular_damping=0，避免把该差别隐藏在默认值中。逐行实现

XPBD 会在这个预测后进行约束修正，并进一步更新速度；不能因其预测器是半隐式 Euler 就把整个 XPBD 算法等同于无约束 Euler，也不能把 XPBD 类说明中的 implicit 当作通用 Backward Euler/Newton 法实现证据。完整约束和恢复系数路径在 E3 展开。预测调用、类与支持限制

单位检查有助于发现错误：\(hf/m\) 为 m/s，\(hI^{-1}\tau\) 为 rad/s。时间步减小、迭代增多和浮点精度提高处理不同误差；没有“只增迭代就必然稳定准确”的结论。离散误差、约束残差、碰撞采样误差、接触模型差距需在 E3 分开讨论。本阶段没有进行时间步或求解器对照实验。

11. 阅读练习与参考答案#

  1. 一个 FREE 根和两个 REVOLUTE 关节，不计 padding，q/qd 各多少元素？为何不可逐项相加积分？

  2. 第 3 节的 box 全部长度乘 2，若仍按密度生成惯量，质量和 \(I_{xx}\) 变多少？若走显式 URDF inertial 路径呢？

  3. \(c^B=(0.1,0,0)\)、姿态单位、\(v_C=0\)、\(\omega=(0,0,2)\)，body 原点速度是什么？

  4. saved=state_0 后做双缓冲交换两次，为何 saved 不一定是历史？如何保存 State 的数组？

  5. 为什么 XPBD 步后对 state.joint_q 的直接读取可能是旧值？eval_ik 在这里做什么？

  6. 若一帧 0.02 s、5 个子步、每步 8 次迭代，一帧推进多久？外力在何时写？

  7. 有一个 USD stage 声明厘米单位，本版本为什么不能仅依据 importer 返回成功就验收尺寸？

  8. 想恢复 MuJoCo 后端中途快照，为什么不能无条件追加 solver.reset(state)？

参考答案与源码定位

  1. q 为 \(7+1+1=9\)，qd 为 \(6+1+1=8\)；FREE quaternion 用 4 个数表示旋转，角速度只有 3 维，需相应姿态积分映射。看第 5 节。

  2. 固定密度：质量 \(8\) kg，惯量乘 \(32\)，\(I_{xx}\approx0.0333333\) kg·m²；显式 inertial 路径的质量仍 1 kg，惯量乘 \(4\)，\(I_{xx}\approx0.00416667\) kg·m²。两者对应不同缩放假设，不是导入器同一结果。

  3. \(v_B=v_C-\omega\times c^B=(0,-0.2,0)\) m/s。质心线速度为零不代表 body 原点静止。

  4. saved 是同一个 State 对象；旧 buffer 会再成为输出并被覆盖。先分配同布局 State，再 snapshot.assign(state_0)；这仍不含 solver/private/controller 状态。

  5. XPBD 推进 maximal body 数据，不自动保证 generalized 数组刷新；eval_ik 从 body pose/twist 重建 joint q/qd，不求给定末端目标的控制动作。

  6. 每步 \(h=0.004\) s，5 步合计 0.02 s；8 次迭代不增加物理时间。外力在每个子步 clear_forces 之后、step 之前写入。

  7. legacy 刚体路径会警告非单位 stage metadata，粒子路径与刚体路径不同；必须检查已转换的资产数据、metadata、最终 shape/质量字段及警告，不能把成功返回当作正确 SI 单位的证据。

  8. override 会把所选 joint state 置回 Model 初值并清 warm-start/act/ctrl 等后端数据；这会破坏任意中途状态的继续语义。先确定是初始化复位还是精确续算，并按具体后端的完整契约实现。

12. 本章验收与下一步#

验证记录列出源码身份、链接锚点、原创 Python 文件和 Markdown 片段的语法检查。静态审查涵盖 A1/A2 的建模/资产、状态/时间契约，B0/B4 只交付本章声明的基础子集；未把任何物理或性能性质标成运行验收。

接下来 E2 从这些状态与布局进入 Control、原生驱动、机器人 FK/目标 IK 和任务时序；E3 延续空间量及积分基础，展开接触/约束/求解器/力观测。实验案例最终复用 DexLab，总入口见 Sim Atlas。

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